Identidades trigonométricas

Identidades trigonométricas

Verificam-se as seguintes identidades, qualquer que seja $x \in \mathbb{R}$: $$ \begin{array}{lll} \sin{\left(\frac{\pi}{2}- x \right)}= \cos{x} & \cos{\left(\frac{\pi}{2}- x \right)}= \sin{x} & \sin{\left(\pi- x \right)}= \sin{x} \\ & & \\ \cos{\left(\pi- x \right)}= -\cos{x} & \sin{\left(\pi+ x \right)}= -\sin{x} & \cos{\left(\pi+ x \right)}= -\cos{x} \tag{1} \end{array}$$

Atendendo às propriedades destas funções podemos determinar as soluções das equações \begin{center}UNIQ3fbc981f5deb3e11-MathJax-6-QINU, UNIQ3fbc981f5deb3e11-MathJax-7-QINU e UNIQ3fbc981f5deb3e11-MathJax-8-QINU. \end{center} Usando a identidade $\sen{(\pi - \alpha)}=\sen{\alpha}$ temos $$ x=\alpha \vee x=\pi-\alpha \Longrightarrow \sen x=\sen \alpha.$$ Atendendo à periodicidade da função $seno$, vem: \begin{center} UNIQ3fbc981f5deb3e11-MathJax-11-QINU \end{center} Por exemplo, $\sin (x)=\frac12\Leftrightarrow x= \frac{\pi}{6} + 2k \pi \vee x=\pi - \frac{\pi}{6} + 2k \pi = \frac{5\pi}{6} + 2k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}$.\\

\noindent Atendendo a que $\cos{\alpha}=\cos{(-\alpha)}$ e ao período da função co-seno ($2\pi$), a solução geral da equação $\cos x=\cos \alpha$ é: \begin{center} UNIQ3fbc981f5deb3e11-MathJax-16-QINU \end{center} Por exemplo, as soluções da equação $\DS \cos{x}=-\frac{1}{2}$ são obtidas usando o facto de que $$\cos{\frac{2\pi}{3}}=\cos{\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right)}=-\cos{\frac{\pi}{3}}.$$ Assim, $$\cos{x}=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=\pm \frac{2\pi}{3}+2k\pi, \mbox{ com }k \in \mathbb{Z}$$ Como a função tangente é periódica de período $\pi$, a solução geral da equação $\tan x=\tan \alpha$ é: \begin{center} UNIQ3fbc981f5deb3e11-MathJax-20-QINU\end{center}