Propriedades dos limites infinitos
O teorema da unicidade do limite enunciado anteriormente para limites finitos pode generalizar-se a limites infinitos.
As propriedades aritméticas dos limites finitos poderão também ser generalizadas a limites infinitos depois de estabelecida uma aritmética dos limites infinitos.
Aritmética dos limites
No caso em que a aplicação das propriedades do limite conduzam a resultados do tipo descrito abaixo, por abuso de linguagem escreve-se
- $-(+\infty)=(-\infty)$
- $(+\infty)+(+\infty)=(+\infty)$
- $(-\infty)+(-\infty)=(-\infty)$
- $(\pm\infty)+a=(\pm\infty)$
- $\infty\cdot\infty=\infty$
- $\infty\cdot a=\infty,\; \textrm{se}\; a\neq0$
- $\displaystyle \frac{1}{0^+}=+\infty$ & $\displaystyle \frac{1}{0^-}=-\infty $
- $\displaystyle \frac{1}{\infty}=0$
- $\displaystyle 0^{+\infty}=0$
- $\displaystyle 0^{-\infty}=+\infty$
No produto de limites infinitos é válida a regra de sinais usada no produto de números reais.
No caso de sermos conduzidos a um destes tipos
$$\frac{0}{0},\;\frac{\infty}{\infty},\; \infty \cdot 0,\;+\infty - \infty,\;+\infty^0, \;0^0,\;1^\infty.$$
diz-se que temos uma indeterminação.
Se no cálculo de um limite, surgir uma indeterminação, tal não significa que o
limite não exista. Dever-se-á proceder à manipulação da expressão analítica da
função em estudo por forma a averiguar a existência, ou não, desse limite.
Alguns limites que conduzem a indeterminações são designados limites notáveis e são fundamentais no cálculo de limites.
| Indeterminação | Limites notáveis | ||
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 2 | 4 | 6 |
| 3 | 3 | 6 | 9 |
| 4 | 4 | 8 | 12 |
| 5 | 5 | 10 | 15 |
\begin{tabular}{|c|c|}\hline Indeterminação & \textbf{Limites Notáveis}\\ \hline & \\ UNIQ210417e53b89fc8e-MathJax-13-QINU & \begin{tabular}{cccc} UNIQ210417e53b89fc8e-MathJax-14-QINU \hspace{3mm} & UNIQ210417e53b89fc8e-MathJax-15-QINU\hspace{3mm} & UNIQ210417e53b89fc8e-MathJax-16-QINU\hspace{3mm} & UNIQ210417e53b89fc8e-MathJax-17-QINU\\ & \\ \end{tabular}\\ \hline & \\ $1^{\infty}$ & $\displaystyle \lim_{x \to + \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x= e^a, a \in \mathbb{R}$ \\ & \\ \hline $\frac{\infty}{\infty}$ & \begin{tabular}{ll} & \\ UNIQ210417e53b89fc8e-MathJax-21-QINU, UNIQ210417e53b89fc8e-MathJax-22-QINU & \hspace{2cm} UNIQ210417e53b89fc8e-MathJax-23-QINU, UNIQ210417e53b89fc8e-MathJax-24-QINU\\ & \\ \end{tabular} \\ \hline
& \\
$0 \cdot \infty $ & $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}x^p\ln{x}=0$, $p \in \mathbb{R}^+$ \\ & \\ \hline \end{tabular}
