Equações com módulos

Equações com Módulos

Resolução de equações tipo $\left\vert f(x) \right\vert = g(x)$

Note-se que se $g(x)<0$, a equação $\vert f(x) \vert = g(x)$ é impossível em $\mathbb{R}$. Se $g(x)\ge 0$ a equação é equivalente a $$ \vert f(x) \vert = g(x) \Leftrightarrow \left[ f(x)=g(x) \lor f(x)=-g(x)\right]$$

Exemplos

Resolução de equações do tipo $\vert f(x) \vert = \vert g(x) \vert$

$$\displaystyle \vert f(x)\vert = \vert g(x)\vert \Leftrightarrow [f(x)]^2 = [g(x)]^2$$ Outro caso em que também se pode usar a técnica do "elevar ao quadrado ambos os membros", é nas equações que envolvem dois módulos. Nestas situações não se inserem novas soluções, ou seja, as soluções obtidas depois de se elevar ao quadrado ambos os membros são as mesmas da equação inicial.

Exemplo

Exercícios Propostos

Determine, em $\mathbb{R}$, o conjunto solução das seguintes equações.

1. $3\vert x+1\vert-2=-11$
2. $\vert 3x-2 \vert+3=7$
3. $\vert 5x-1 \vert=6x$ & (d) $\vert x+1 \vert-2x=8x+3$
4. $\vert x-2\vert =\vert x+5\vert$ & (f) $\vert x+1 \vert-2\vert x-3\vert=0$

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