Resolução de outras equações

Resolução de outras Equações

Um processo muito usado na resolução de equações é usar a decomposição em fatores seguida da lei do anulamento do produto.

Lei do anulamento do produto: O produto de dois ou mais factores é nulo se e só se pelo menos um dos factores é nulo, ou seja,

$$a b \cdots z =0 \Leftrightarrow a=0 \lor b=0 \lor \cdots \lor z=0$$

Exemplo

Exemplo

A lei do anulamento do produto permite determinar o conjunto solução da equação \[ \frac{1}{2}(7-3x)(5-x)(x+1)=0. \] Aplicando a lei do anulamento do produto vem que \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(7-3x)(5-x)(x+1)=0 & \Leftrightarrow & \underbrace{\frac{1}{2}=0}_{F} \ \lor \ 7-3x=0 \ \lor \ 5-x=0 \ \lor \ x+1=0 \\ & \Leftrightarrow & \ x=\frac{7}{3} \ \lor \ x=5 \ \lor \ x=-1 \end{eqnarray*} Recorde-se que $F \lor {\cal C}\Leftrightarrow {\cal C}$, qualquer que seja a condição $\cal C$. Assim o conjunto solução é $\displaystyle \left\{-1,\frac{7}{3},5\right\}$.

Outras equações polinomiais

Considere-se a equação $x^4+x^2-12=0$.

Apesar de se tratar de uma equação do 4º grau, onde não se encontra nenhum factor comum para colocar em evidência, pode-se resolver como sendo uma equação do 2º grau. Repare-se que

\[ x^4+x^2-12=0 \Leftrightarrow \left(x^2\right)^2+x^2-12=0 \] Se se fizer uma mudança de variável $y=x^2$ e se aplicar a fórmula resolvente obtém-se \begin{align*} y^2+y-12=0 & \Leftrightarrow y=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2\cdot1} & \\ & \Leftrightarrow y=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2} & \\ & \Leftrightarrow y=\frac{-1+7}{2} \lor y=\frac{-1-7}{2} & \\ & \Leftrightarrow y=3 \lor y=-4. & \end{align*} Como $y=x^2$ tem-se que $x^2=3 \lor x^2=-4$. A equação $x^2=-4$ é impossível. Donde as soluções da equação dada são as mesmas da equação $x^2=3$.

\begin{align*} x^2=3 & \Leftrightarrow x^2-3=0 \Leftrightarrow (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0, \mbox{ é a diferença de quadrados} & \\ & \Leftrightarrow x-\sqrt{3}=0\lor x+\sqrt{3}=0, \mbox{ pela lei do anulamento do produto} & \\ & \Leftrightarrow x=\sqrt{3} \lor x=-\sqrt{3} \end{align*}

Exemplo 2

Pretende-se determinar o conjunto solução da equação

\[ \frac{1}{x-2}+\frac{x}{3x+6}=\frac{4}{x^2-4}. \]

Para simplificar a equação tem que se determinar o menor denominador comum às três fracções, pelo que, começa-se por decompor os denominadores em factores.

Como $3x+6=3(x+2)$ e $x^2-4=(x-2)(x+2)$, tem-se que

\begin{align*} \frac{1}{x-2}+\frac{x}{3x+6}=\frac{4}{x^2-4} & \Leftrightarrow \frac{1}{x-2}+\frac{x}{3(x+2)}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}=0 & \\ & \Leftrightarrow \frac{3(x+2)}{3(x+2)(x-2)}+\frac{x(x-2)}{3(x+2)(x-2)}-\frac{12}{3(x-2)(x+2)}=0 & \\ & \Leftrightarrow \frac{3x+6+x^2-2x-12}{3(x+2)(x-2)}=0 & \\ & \Leftrightarrow \frac{x^2+x-6}{3(x+2)(x-2)}=0 & \end{align*}

Sabe-se que No domínio da expressão, uma fracção é nula se e só se o seu numerador é nulo (e o denominador não nulo!!!) Assim

\begin{align*} & \Leftrightarrow x^2+x-6=0 \land 3(x+2)(x-2)\neq 0 & \\ & \Leftrightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2} \land \left(3\neq0 \land x+2\neq0 \land x-2\neq0 \right) & \\ & \Leftrightarrow \left(x=2 \lor x=-3\right) \land \left(x\neq 2 \land x\neq -2\right) & \\ & \Leftrightarrow x=-3 \end{align*}

Note-se que $2$ não pertence ao domínio da expressão donde não pode ser solução. O conjunto solução da equação dada é $\{-3\}$.

Exercícios Propostos

Determine, em $\mathbb{R}$, o conjunto solução das seguintes equações.

1. $\displaystyle\frac{2x+7}{3}-\frac{2(x^2-4)}{5x}-\frac{4x^2-6}{15x}=\frac{7x^2+6}{3x^2}$
2. $\displaystyle \frac{4x+3}{2x-5}-\frac{3x+8}{3x-7}=1$
3. $\displaystyle \frac{3}{2}-\frac{6x^2}{9x^2-1}=\frac{2}{3x-1}$
4. $\displaystyle \frac{x+\frac{9}{4}}{\left(2x-\frac{3}{2}\right)^2}-1=x$
5. $\displaystyle \sqrt{x}+\frac{4}{\sqrt{x}}=5$
6. $\displaystyle\frac{(x-\sqrt2)^2\left(x-\frac{1}{10}\right)(x+\sqrt{17})}{x^4+2x^2+1}=0$