Outro exemplo
Exemplo 2
Pretende-se determinar o conjunto solução da equação
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{x}{3x+6}=\frac{4}{x^2-4}. \]
Para simplificar a equação tem que se determinar o menor denominador comum às três fracções, pelo que, começa-se por decompor os denominadores em factores.
Como $3x+6=3(x+2)$ e $x^2-4=(x-2)(x+2)$, tem-se que
\begin{align*} \frac{1}{x-2}+\frac{x}{3x+6}=\frac{4}{x^2-4} & \Leftrightarrow \frac{1}{x-2}+\frac{x}{3(x+2)}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}=0 & \\ & \Leftrightarrow \frac{3(x+2)}{3(x+2)(x-2)}+\frac{x(x-2)}{3(x+2)(x-2)}-\frac{12}{3(x-2)(x+2)}=0 & \\ & \Leftrightarrow \frac{3x+6+x^2-2x-12}{3(x+2)(x-2)}=0 & \\ & \Leftrightarrow \frac{x^2+x-6}{3(x+2)(x-2)}=0 & \end{align*}
Sabe-se que No domínio da expressão, uma fracção é nula se e só se o seu numerador é nulo (e o denominador não nulo!!!) Assim
\begin{align*} & \Leftrightarrow x^2+x-6=0 \land 3(x+2)(x-2)\neq 0 & \\ & \Leftrightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2} \land \left(3\neq0 \land x+2\neq0 \land x-2\neq0 \right) & \\ & \Leftrightarrow \left(x=2 \lor x=-3\right) \land \left(x\neq 2 \land x\neq -2\right) & \\ & \Leftrightarrow x=-3 \end{align*}
Note-se que $2$ não pertence ao domínio da expressão donde não pode ser solução. O conjunto solução da equação dada é $\{-3\}$.
