Inequações com módulos

Inequações com módulos

Resolução de inequações do tipo $\vert f(x) \vert < g(x)$

$\displaystyle \vert f(x) \vert < g(x) \Leftrightarrow \left[ f(x)<g(x) \land f(x)>-g(x)\right] \land g(x)>0$

Nota: Se $g(x)\le0$ então a inequação é impossível.

Note-se que $|a| \ge 0$, qualquer que seja $a$, portanto, a condição $|a| \le 0$ é equivalente a $|a|=0$, ou seja, $a=0$.

Exemplos

Resolução de inequações do tipo $\vert f(x) \vert > g(x)$

$\displaystyle \vert f(x) \vert > g(x) \Leftrightarrow \left( f(x)>g(x) \lor f(x)<-g(x)\right) \lor g(x)\le 0$

Nota: Se $g(x)\le0$ inequação é sempre possível já que o módulo de um número é sempre maior ou igual a zero, logo, também é maior do que um número negativo.

Exemplo

\noindent \textbf{Exemplo} Considere-se a inequação $\vert 3x-4\vert\ge2$. Usando as propriedades anteriores, pode-se escrever \begin{align*} \vert 3x-4\vert\ge2 & \sse 3x-4 \ge 2 \lor 3x-4\le-2 \lor \underbrace{2<0}_{\F} & \intertext{Recorde-se que UNIQ72d55e5ab805c45-MathJax-13-QINU, qualquer que seja a condição UNIQ72d55e5ab805c45-MathJax-14-QINU. Donde} & \sse 3x\ge 6 \lor 3x\le 2 & \\ & \sse x\ge 2 \lor x\le \frac{2}{3} \end{align*} Logo o conjunto solução é $\DS\left]-\infty,\frac{2}{3}\right]\cup[2,+\infty[$.

\bigskip

\subsubsection*{Exercícios Propostos} Determine, em $\mathbb{R}$, o conjunto solução das seguintes inequações \begin{description} \item[a)]UNIQ72d55e5ab805c45-MathJax-17-QINU; \item[b)] UNIQ72d55e5ab805c45-MathJax-18-QINU; \item[c)] UNIQ72d55e5ab805c45-MathJax-19-QINU\end{description}