Resposta 14
Designemos por $a_n$ o termo geral desta sucessão. Então $$\begin{array}{l} a_1=2^{\frac{1}{2}}\\ a_2=\left(2\cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}\\ a_3=\left(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}\\ \vdots \end{array}$$ De um modo geral $$a_n=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ \ldots +\frac{1}{2^n}}.$$ Como $$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ \ldots +\frac{1}{2^n}$$ é a soma consecutivas dos termos de uma progressão geométrica de razão $1/2$, temos que $$\lim \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ \ldots +\frac{1}{2^n}\right) = \lim \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}} \right) = 1,$$ então $\lim a_n=2^{\lim \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ \ldots +\frac{1}{2^n}\right) }=2^1=2$.
