Exemplos 18

$\displaystyle a_n=\frac{3n-5}{n+1}$ (Resposta)
$\displaystyle b_n=\frac{4n^5+3n^2-n-5}{3n^2-2n+10}$ (Resposta)
$\displaystyle c_n=-n^2+n+7$ (Resposta)
$\displaystyle d_n=\frac{2^n-3^{n+2}}{2^{n-1}+3^{n+1}}$ (Resposta)
$\displaystyle e_n= \sin (n \pi)$ (Resposta)
$\displaystyle f_n= \sin \left( \frac{n \pi}{2} \right)$ (Resposta)
$\displaystyle g_n=\frac{(-1)^{n+3}n+1}{n^3+1}$ (Resposta)
$\displaystyle h_n=\sqrt{n^2+2n+3}-\sqrt{n^2+2n}$ (Resposta)
$\displaystyle i_n=\frac{(2n+1)!n!}{(2n-1)!(n+1)!}$ (Resposta)
$\displaystyle j_n=\frac{\sin n}{n}$ (Resposta)
$\displaystyle m_n=\left( \frac{n+1}{n+4} \right)^n$ (Resposta)

Exemplo 2

Seja $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ a sucessão definida por recorrência $$\left\{ \begin{array}{ll} a_1=3 & \\ \displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+4, & \mbox{ para } n \geq 1\\ \end{array} \right.$$ Sabendo que a sucessão converge, determine o seu limite. (Resposta)

Exemplo 3

Sejam $a \in ]-1,1[$ e $b \in \mathbb{R}$. Considere a sucessão $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de termo geral $$s_n=b(1+a+a^2+\ldots + a^{n-1}).$$ Mostre que $$\lim s_n=\frac{b}{1-a}.$$

(Resposta)