Exemplo 17
Uma empresa especializada na produção de determinado produto estima que o custo médio $C$, em milhares de euros, é função da quantidade produzida $x$, através da fórmula $$\displaystyle C(x)=\frac{45x+100}{x}.$$ Se houver um grande aumento de produção, o que se pode afirmar sobre o custo médio? Justifique.
Resposta
Observando o gráfico, dizemos que o custo, a partir de um certo valor de unidades produzidas, não reduz significativamente.
Calculemos alguns valores do custo para diferentes valores de produção, para tentarmos entender esta afirmação:
$$\begin{array}{lll} C(20)=\frac{45 \times 20+100}{20}=50 & \hspace{0.2cm} & C(50)=\frac{45 \times 50+100}{50}=47 \\ && \\ C(100)=\frac{45 \times 100+100}{100}=46 & \hspace{0.2cm} & C(200)=\frac{45 \times 200+100}{200}=45.5 \\ && \\ C(1000)=\frac{45 \times 1000+100}{1000}=45.1& \hspace{0.2cm} & C(10000)=\frac{45 \times 10000+100}{10000}=45.01 \end{array}$$
Efetivamente, a variação não é significativa quando comparada com valores de produção muito menores. Observe-se que $C(x) \ge 45$, qualquer que seja o valor de unidades produzidas $x$. $$C(x) \ge 45\Leftrightarrow \frac{45x+100}{x}\ge 45 \Leftrightarrow 45x+100 \ge 45x $$ Como $x > 0$ as desigualdades são equivalentes.
