Exemplo 19
Determine os domínios e as expressões analíticas de $g\circ f$, $f\circ g$, $h\circ f$ e $f\circ h$, com $f$, $g$ e $h$ definidas por: $$f(x)= \sqrt{x}, \hspace{0.5cm} g(x)=x^2\hspace{0.25cm} \mbox{ e }\hspace{0.25cm} h(x)= \frac{1}{x-1}$$
Resolução
Comecemos por determinar os domínios das funções $f$, $g$ e $h$: $$D_f=\{x \in \mathbb{R}: x \ge 0\}=\mathbb{R}_0^+; \hspace{1cm} D_g=\mathbb{R}; \hspace{1cm} D_h=\{x \in \mathbb{R}: x-1 \ne 0\}=\mathbb{R}\setminus \{1\}.$$ Então, $$D_{g\circ f}=\left \{x \in \mathbb{R}: x \in D_f \wedge f(x) \in D_g\right\}=\left \{x \in \mathbb{R}: x \in \mathbb{R}_0^+ \wedge \sqrt{x} \in \mathbb{R}\right\}=\mathbb{R}_0^+ .$$ $$D_{f\circ g}=\left \{x \in \mathbb{R}: x \in D_g \wedge g(x) \in D_f\right\}=\left \{x \in \mathbb{R}: x \in \mathbb{R} \wedge \underbrace{x^2 \in \mathbb{R}_0^+}_{\mbox{cond. universal}}\right\}=\mathbb{R} .$$ Repare-se que o contradomínio de $f$ é $CD_f=\mathbb{R}_0^+$ e o contradomínio de $g$ é também $CD_g=\mathbb{R}_0^+$. Como $CD_f\subseteq D_g$, o domínio da composta $g \circ f$ coincide com o domínio de $f$, i.e., $D_{g \circ f}=D_f$. Como $CD_g \subseteq D_f$, o domínio de $f \circ g$ coincide com o domínio de $g$, $D_{f \circ g}=D_g$. $$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g\left(\sqrt{x}\right)=\left(\sqrt{x}\right)^2=|x|=x \mbox{ (porque }x \geq 0)$$ e $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f\left(x^2\right)=\sqrt{x^2}=|x|.$$ Assim, temos que
$$\begin{array}{cccc}
g \circ f: & \mathbb{R}_0^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\
& x & \mapsto & x
\end{array} \quad \mbox{e} \quad\begin{array}{cccc}
f \circ g: & \mathbb{R}& \rightarrow & \mathbb{R} \\
& x & \mapsto & |x| \\
\end{array}$$
Considerem-se agora as funções $f$ e $h$:
$$D_{h\circ f}=\left \{x \in \mathbb{R}: x \in D_f \wedge f(x) \in D_h\right\}=\left \{x \in \mathbb{R}: x \in \mathbb{R}_0^+ \wedge \sqrt{x} \neq 1 \right\}=\mathbb{R}_0^+ \setminus \{1\}=[0,1[ \cup ]1,+ \infty [.$$
$$D_{f\circ h} = \left \{x \in \mathbb{R}: x \in D_h \wedge h(x) \in D_f\right\}=\left \{x \in \mathbb{R}: x \neq 1 \wedge \displaystyle \frac{1}{x-1} \geq 0 \right\}=
\left \{x \in \mathbb{R}: x \neq 1 \wedge x-1 > 0 \right\}=]1,+ \infty [.$$
Os domínios, como no caso anterior, são distintos. Vejamos agora as expressões analíticas das duas funções.
$$(h\circ f)(x)=h(f(x))=h\left(\sqrt{x}\right)=\frac{1}{\sqrt{x}-1} \hspace{1cm}(f\circ h)(x)=f(h(x))=f\left(\frac{1}{x-1}\right)=\sqrt{\frac{1}{x-1}}=\frac{1}{\sqrt{x-1}}.$$
