Exemplos 15
Exemplo 1
Prove que são limitadas as sucessões
- $\displaystyle a_n=\frac{2}{n}$.
- $\displaystyle b_n=(-1)^n\frac{2n}{n+3}$.
Resolução
1. Como $n \geq 1$, então $\displaystyle 0<\frac{1}{n} \leq1$. Logo $\displaystyle 0<\frac{2}{n} \leq 2$ e portanto $0$ é um minorante do conjunto dos termos da sucessão e $2$ um majorante.
2. Podemos escrever a sucessão dada como \[ b_n= \begin{cases} \displaystyle \frac{2n}{n+3},& \mbox{ se } n \mbox{ é par}\\[1em] \displaystyle -\frac{2n}{n+3},& \mbox{ se } n \mbox{ é ímpar} \end{cases} \] Além disso, efetuando a divisão de $2n$ por $n+3$, obtemos $$\frac{2n}{n+3}=2-\frac{6}{n+3}.$$ Logo, para $n$ par: $$n \geq 2 \Rightarrow n+3 \geq 5 \Rightarrow 0<\frac{6}{n+3}\leq \frac{6}{5} \Rightarrow -\frac{6}{5} \leq -\frac{6}{n+3} <0 \Rightarrow$$ $$ \frac{4}{5} \leq 2-\frac{6}{n+3} <2.$$ Para $n$ ímpar, obtemos $$n \geq 1 \Rightarrow n+3 \geq 4 \Rightarrow 0<\frac{6}{n+3}\leq \frac{6}{4}=\frac{3}{2} \Rightarrow -2 < -2+\frac{6}{n+3} \leq - \frac{1}{2}.$$ Portanto $-2<b_n<2$, ou seja, é limitada.
Exemplo 2
Considere a sucessão definida por $\displaystyle a_n=\frac{n+8}{n+1}$.
- Mostre que a sucessão é decrescente.
- Mostre que a sucessão é limitada.
Resolução
1. Uma vez que $\displaystyle a_{n+1}-a_n=\frac{-7}{(n+2)(n+1)}<0,$ provámos o pretendido.
2. Uma vez que a sucessão é monótona decrescente, o seu primeiro termo, $a_1=9/2$, é um majorante do conjunto dos termos da sucessão. Facilmente se vê que, para todo $n \in \mathbb{N}$, $a_n>0$. Logo $0$ é um minorante e concluímos assim que $0<a_n \leq 9/2$.
