Funções injetivas e funções sobrejetivas
Uma função $f:A \rightarrow B$ diz-se injetiva se a objetos distintos, $x \ne x'$, correspondem imagens distintas, $f(x) \ne f(x')$, i.e.,
$ \forall x, x' \in A, x \ne x' \Rightarrow f(x) \ne f(x') $
ou equivalentemente, se a cada elemento do contradomínio corresponde um único elemento do domínio (a imagens iguais correspondem objetos iguais), i.e.,
$\forall x, x' \in A, f(x)=f(x') \Rightarrow x=x' .$
Uma função $f:A \rightarrow B$ diz-se sobrejetiva se todos os elementos do conjunto de chegada são imagem de algum elemento do domínio, i.e., se para todo o elemento do conjunto de chegada $y$, existe um elemento do domínio $x$, tal que $y=f(x)$. Dito em linguagem simbólica, temos
$\forall y \in B, \exists x \in A : f(x)=y $
ou equivalentemente, se o contradomínio coincide com o conjunto de chegada, i.e., $CD_f = B $
Uma função $f:A \rightarrow B$ diz-se bijetiva se é injetiva e sobrejetiva, ou seja, se cada elemento do conjunto de chegada, $y \in B$, é imagem de um único elemento do domínio, $x \in A$. Em linguagem simbólica temos:
$$
\forall y \in B, \ \exists^1 x \in A \ : \ y=f(x).
$$
Obs.: Sendo $f$ uma função real de variável real, $f$ é
sobrejetiva se o seu contradomínio é $\mathbb{R}$, i.e.,
$CD_f=\mathbb{R}$ e é bijectiva se
$$
\forall y \in \mathbb{R}, \ \exists^1 x \in D_f \ : \ y=f(x).
$$
