Percentagens

Na prática aparecem-nos muitas vezes problemas ligados à noção de percentagem, que não é mais do que uma razão (uma proporção) em que o divisor é 100.

Uma percentagem pode ser representada sob a forma de uma fração ou de um numeral decimal e traduz a comparação entre um número (uma parte) e o número 100 (o todo).

Exemplo 1

1. Explique o significado da notícia: $8\%$ da população activa trabalha na Administração Pública
2. Mostre que esta notícia podia ter sido redigida do seguinte modo: 2 em cada 25 pessoas da população activa trabalham na Administração Pública

Resolução

1. $8\%$ significa 8 em cada 100, logo, 8 em cada 100 pessoas da população activa trabalha na Administração Pública.
2. $8\%$ pode ser representado sob a forma de fracção irredutível.

Logo é indiferente afirmar 8 em cada 100 ou 2 em cada 25. $\displaystyle \left(\frac{8}{100}=\frac{8\div 4}{100\div 4}=\frac{2}{25}\right)$

Como calcular uma percentagem?

Problema 1 Considere o quadro seguinte que nos dá informação sobre os alunos matriculados em Matemática I num determinado ano lectivo.

	Trabalhadores estudantes	Ordinários	Militares	Total
Não Repetentes	32	59	1	92
Repetentes	23	23	0	46
Total de alunos	55	82	1	138

Calcule a percentagem de alunos de Matemática I:

1. Trabalhadores Estudantes;
2. Repetentes;
3. Ordinários;
4. Militares;
5. Ordinários nos alunos repetentes;
6. Trabalhadores estudantes nos alunos não repetentes.

Resolução Para resolvermos o problema anterior podemos utilizar dois processos: utilizando o conceito de proporcionalidade direta ou a regra prática baseada neste conceito que é a chamada regra de três simples.

1. O número total de alunos matriculados em Matemática I no ano letivo em causa é de 138 que corresponde ao total da população em estudo, isto é, corresponde a $100\%$ dos alunos de Matemática I. Queremos calcular a percentagem de trabalhadores estudantes. O total de alunos trabalhadores estudantes é de 55. Então designando por $x$ a $\%$ de trabalhadores estudantes tem-se: $\displaystyle \frac{138}{100}=\frac{55}{x}\Leftrightarrow 138x=5500 \Leftrightarrow x=\frac{5500}{138}\Leftrightarrow x= 40 \%$. Podemos ainda calcular mais rapidamente a percentagem dividindo o total de trabalhadores estudantes pelo total de alunos: $\displaystyle \frac{55}{138}=0.4= 40 \%$.
2. A percentagem de alunos repetentes é $\displaystyle \frac{46}{138}=0.33= 33 \%$.
3. A percentagem de alunos ordinários é $\displaystyle \frac{82}{138}=0.59= 59 \%$.
4. A percentagem de alunos militares é $\displaystyle \frac{1}{138}=0.007= 0.7 \%$.
5. A percentagem de alunos ordinários nos alunos repetentes é $\displaystyle \frac{23}{46}=0.5= 50 \%$.
6. A percentagem de trabalhadores estudantes nos alunos não repetentes é, $\displaystyle \frac{32}{92}=0.35= 35 \%$.

Nota: A soma das percentagens correspondentes a (a), (c) e (d) tem de ser $100\%$ pois corresponde ao total dos alunos.

Na resolução de um problema de percentagens temos sempre, pelo menos, três valores: valor inicial, percentagem e valor final. Destes três valores dois são normalmente conhecidos, sendo necessário calcular o terceiro.

Problema 2

A Joana foi aos saldos e viu uma camisola cujo preço era de $60 €$ e que estava com desconto de $30\%$.

1. Qual o valor do desconto?
2. Quanto pagou pela camisola?

Resolução

1. O valor inicial é de $60 €$ a percentagem de desconto é $30\%$ , logo o desconto foi de $18 €$.
2. A Joana pagou o valor inicial menos o desconto, isto é, $60-18 €=42 €$.

Outra maneira de resolver o problema é determinar primeiro a percentagem que vai pagar. Se o desconto é de $30\%$, a Joana paga apenas $70\%$ logo $0.7 \times 60=42 €$. Esta forma de cálculo é a mais utilizada na prática.

Problema 3

Com IVA incluído ($20\%$) uma máquina de café custa $40 €$.

1. Qual o custo da máquina sem IVA?
2. Quanto se paga de IVA na compra da máquina?

Resolução

1. Designemos por $m$ o custo da máquina sem IVA. Então, o preço a pagar é o custo da máquina sem IVA, $m$, mais o IVA devido, $0.2m$, perfazendo os 40 €: $ \displaystyle m+0.2m=40\Leftrightarrow 1.2m=40 \Leftrightarrow m=33.33$. O custo da máquina sem IVA é de $33.33 €$.
2. O valor do IVA é de $40-33.33=6.67 €$.

Problema 4

Observe a figura e calcule a percentagem de desconto. Custava: $1295 €$ Custa:$1100.75 €$.

Resolução

O valor do desconto é $1295-1100.75=194.25 €$. Seja $x$ o valor percentual do desconto. Se o preço total, $100 \%$ corresponde a $1295 €$, o desconto $x$ corresponde $194.25 €$, $$\frac{1295}{100}=\frac{194.25}{x}\Leftrightarrow x=\frac{19425}{1295}=15$$ Portanto o computador tem um desconto de $15\%$.

Exercícios

Formule os seguintes problemas e resolva-os:

1. Numa sondagem efetuada no ano 2000, constata-se que $58\%$ dos portugueses já tinham acedido à Internet. Como há cerca de 10 milhões de habitantes em Portugal, qual o número de pessoas que acedeu à Internet?
2. Um comerciante vendeu um aparelho de rádio com o desconto de $20\%$ sobre o preço de catálogo e mais um desconto de $3\%$ de pronto de pagamento, tendo recebido $23.22 €$. Qual era o preço de catálogo?
3. Uma máquina foi vendida por $122.21 €$, com o prejuízo de $30\%$ sobre o preço de custo. Calcule o preço de custo da máquina.
4. Um comerciante vendeu uma determinada mercadoria por $54.14 €$, com o lucro de $30\%$ sobre o preço de custo. Quanto lhe havia custado a mercadoria?
5. O João colocou no banco 1500 euros. Um ano depois tinha 1590 euros. Qual a taxa de juro?
6. O Manuel tinha, em Janeiro, 10 000 euros numa aplicação financeira. Com uma subida excepcional da Bolsa em Fevereiro tinha mais $20\%$. De Fevereiro para Março a Bolsa desceu $20\%$. Quanto dinheiro tinha em Março o Manuel?

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