Progressões geométricas - resolução 1
1. A sucessão dada é uma progressão geométrica se o quociente entre dois termos consecutivos for constante. Como $$\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{4\; \left(\frac{1}{5}\right)^{-2 \, n - 1}}{4\; \left(\frac{1}{5}\right)^{-2 \, n + 1}}=\frac{\left(\frac{1}{5}\right)^{-2 \, n - 1}}{\left(\frac{1}{5}\right)^{-2 \, n + 1}}=\left(\frac{1}{5}\right)^{-2 \, n - 1-(-2 \, n + 1)}=\left(\frac{1}{5}\right)^{-2},$$ conclui-se que $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}=25 ,\, \forall n\in \mathbb{N}$ o que permite concluir que a sucessão dada é uma progressão geométrica de razão $\displaystyle 25$.
2. Como a sucessão dada é uma progressão geométrica de razão $\displaystyle 25$ e primeiro termo $\displaystyle u_1=20$ vem $$\displaystyle \sum_{n=1}^{20} u_n=20 \, \frac{1-\left(25\right)^{20}}{1-25}\simeq -2.27373675443 \times 10^{29}$$
