Zeros de um polinómio e fatorização

Revision as of 17:58, 26 October 2012

Zeros de um polinómio e fatorização

Dado um polinómio $p$ diz-se que $\beta$ é um zero ou uma raiz de $p$ se, ao substituir $x$ por $\beta$, o polinómio se anula, ou seja, $p(\beta)=0$. Mostra-se que $\beta$ é uma raiz de $p$ se o resto da divisão de $p$ por $x-\beta$ é zero.

Por exemplo $x=-1$ é uma raiz do polinómio $p(x)=x^2+2x+1$, já que $p(-1)=(-1)^2+2\cdot(-1)+1=0$.

A decomposição de um polinómio em factores consiste em escrever um polinómio como produto de factores. Se $\beta$ é raiz do polinómio $p$ então $p$ pode decompor-se em factores da forma $p(x)=(x-\beta)q(x)$, onde $q(x)$ é o quociente da divisão inteira de $p(x)$ por $x-\beta$.

Existem vários processos para determinar zeros de um polinómio e a sua consequente decomposição.

• Seja $p(x)=ax^2+bx+c$, com $a,b,c\in\mathbb{R}$ e $a\neq0$. Os zeros deste polinómio existem (em $\mathbb{R}$) se e só se $b^2-4ac\ge0$ e são dados pela fórmula resolvente

$$\displaystyle \alpha = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a } \quad \quad \beta = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Nota: É usual denotar $\Delta=b^2-4ac$.

Caso existam os zeros, pode-se factorizar $p$ do seguinte modo \[ p(x)=a(x-\alpha)(x-\beta). \]

Exemplo

• Existem certos polinómios de grau $2$ que são mais fáceis de factorizar aplicando os casos notáveis da multiplicação.

Exemplo

• Seja $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$, $n\in\mathbb{N}$. A regra de Ruffini pode ser usada para determinar o valor de $\alpha$ tal que o resto da divisão inteira de $p$ por $x-\alpha$ seja nulo.

Regra prática: Suponha-se que $p$ tem todos os coeficientes inteiros, ou seja, $a_i\in\mathbb Z$. Então, se $p$ tiver um zero da forma $\displaystyle \alpha= \frac\beta\gamma$, tal que $\beta\in\mathbb Z$ e $\gamma\in\mathbb N$, $\beta$ é divisor de $a_0$ e $\gamma$ é divisor de $a_n$.

Donde $p(x)=(x-\alpha)q(x)$, onde $q(x)$ é o quociente da divisão.

Exemplo

Considere-se $p(x)=x^3-3x^2+x+1$. De acordo com a regra prática, como

\begin{eqnarray*} a_3=1 & \Rightarrow & \beta=1 \lor \beta=-1 \\ a_0=1 & \Rightarrow & \gamma=1 \end{eqnarray*} os possíveis candidatos a raízes são $1$ e $-1$. Começa-se por experimentar. \[ \begin{tabular}{c|lllc} & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-50-QINU & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-51-QINU & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-52-QINU & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-53-QINU \\ UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-54-QINU & & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-55-QINU & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-56-QINU & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-57-QINU \\ \hline & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-58-QINU & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-59-QINU & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-60-QINU & \colorbox{yellow}{UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-61-QINU} \\ \end{tabular} \] Como o resto é não nulo, $-1$ não é zero de $p$. Resta experimentar $\alpha=1$ \[ \begin{tabular}{c|cccc} & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-65-QINU & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-66-QINU & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-67-QINU & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-68-QINU \\ UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-69-QINU & & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-70-QINU & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-71-QINU & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-72-QINU \\ \hline & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-73-QINU & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-74-QINU & UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-75-QINU & \colorbox{yellow}{UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-76-QINU} \\ \end{tabular} \] Donde $1$ é zero de $p$ e $p(x)=(x-1)(x^2-2x-1)$.

Além disso, pela fórmula resolvente, sabe-se que \[ x^2-2x-1=0 \sse x=1+\sqrt{2} \lor x=1-\sqrt{2}, \] o que quer dizer que $x^2-2x-1=\left(x-1-\sqrt{2}\right)\left(x-1+\sqrt{2}\right)$. Logo \[ p(x)=(x-1)\left(x-1-\sqrt{2}\right)\left(x-1+\sqrt{2}\right). \]

\item Outro processo baseia-se na \textbf{existência de factores comuns} em todos os monómios que compõem o polinómio. Se tais factores existirem, podem-se colocar em evidência.

\noindent \textbf{Exemplo 1:} Seja $p(x)=-8x^3+16x^2$. Repare-se que $8x^2$ é um factor comum a todos os monómios que constituem o polinómio, ou seja, é um factor comum a $-8x^3$ e a $16x^2$. Donde \[ p(x)=8x^2(-x+2) \]

\noindent \textbf{Exemplo 2:} Seja $t(x)=2x^2-2+x^3-x$. Poder-se-ia tentar aplicar a regra de Ruffini. Mas repare-se \[ 2x^2-2+x^3-x=2(x^2-1)+x(x^2-1) \] Donde existe um factor, $x^2-1$, comum às duas parcelas. Logo \[ t(x)=(x^2-1)(2+x) \] E como $x^2-1=(x-1)(x+1)$, tem-se que $t(x)=(x-1)(x+1)(2+x)$. \end{itemize}

\subsubsection{Exercícios Propostos} Factorize os seguintes polinómios

\begin{tabular}{lll} (a) UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-89-QINU & & (b) UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-90-QINU\\ (c) UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-91-QINU & \ \ \ \ \ & (d) UNIQfcc715e14ae5a5f-MathJax-92-QINU \end{tabular}