Exemplo 14
Exemplo 1
Considere a função $f:[1,+ \infty[ \rightarrow \mathbb{R}$, dada por $f(x)=\displaystyle 1-\frac{1}{x}$.
Como o domínio de $f$ é $[1,+ \infty[$ ($x \geq 1$) vem que $\displaystyle 0 < \frac{1}{x} \leq 1$. Então: $$-1 \leq -\frac{1}{x} < 0 \Longrightarrow 0 \leq 1-\frac{1}{x} < 1$$ e portanto $f$ é limitada (sendo $A=0$ e $B=1$).
Se usarmos a segunda definição de função limitada, basta tomar $M=1$, já que,
$$|f(x)|=\left|1-\frac{1}{x}\right| \le 1$$
Exemplo 2
A função $g:\mathbb{R}\setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$, dada por $g(x)=\displaystyle 1-\frac{1}{x}$, não é limitada, já que, se $x$ estiver próximo de $0$ o valor de $|g(x)|$ torna-se muito elevado.
Suponhamos que $M=100$. Se tomarmos $\displaystyle x=\frac{1}{201}$, temos que $\displaystyle g\left(\frac{1}{201}\right)=-200$ e consequentemente, $ \displaystyle \left|g\left(\frac{1}{201}\right)\right|=200 >100$.
Se fizermos $M=100000$, basta tomar $\displaystyle x=\frac{1}{200001}$ para que $$ \displaystyle \left|g\left(\frac{1}{200001}\right)\right|=|-200000|=200000 >100000.$$
Seja $M>0$ um número positivo arbitrário. Então, existe $x_M \neq 0$ tal que $|g(x_M)|>M$, por exemplo, $$\mbox{se } x_M=\frac{1}{2M+1} \mbox{ vem }\left|g(x_M)\right|= \left|1-\frac{1}{\frac{1}{2M+1}}\right|=\left|1-2M-1\right|=|-2M|=2M > M $$
Podemos interpretar este facto graficamente. Qualquer que seja a reta horizontal $y=M$, encontramos sempre um valor de $x$ para o qual $|g(x)|$ está acima da reta considerada, i.e., $|g(x)| > M$. Portanto, $g$ não é limitada.
