Potências
From Matemática
Potências
$a^u$ é uma potência de base $a$ e expoente $u$
A potência $a^u$ não está definida para todo $a,u\in\mathbb{R}$.
- Se $a>0$, $a^u$ está sempre bem definida e $a^u\in\mathbb{R}^+$.
- Se $a=0$, a potência $a^u$ só é válida se $u\in\mathbb{R}^+$ e $a^u=0^u=0$. Por exemplo, $0^{-2}=\frac{1}{0^2}=\frac{1}{0}$ não tem significado.
- Se $a<0$, a potência $a^u$ nem sempre tem significado. Por exemplo, $\displaystyle (-2)^{\frac{5}{2}}=\sqrt{(-2)^5}=\sqrt{-32}$.
Para um qualquer número real $a $, $a^1=a$ e se $a \ne 0$, $a^0=1$ ($0^0$ não tem significado).
Sejam $a,b\in\mathbb{R}^+$ e sejam $u,v\in\mathbb{Q}$. As potências de expoente irracional, embora gozando das mesmas propriedades, serão tratadas a posteriori, ao estudar a função exponencial.
| Propriedades | Exemplos | Propriedades | Exemplos |
|---|---|---|---|
| $\displaystyle a^{-u}=\frac{1}{a^u}$ | $\displaystyle 3^{-4}=\frac{1}{3^4}$ | $\displaystyle a^{\frac{1}{u}}=\sqrt[u]{a}$ | $\displaystyle 7^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{7}$ |
| $\displaystyle a^{\frac{v}{u}}=\sqrt[u]{a^v}$ | $\displaystyle 2^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{2^3} $ | $\displaystyle a^v \cdot a^u=a^{v+u}$ | $\displaystyle 3^2 \cdot 3^5=3^{2+5}=3^7$ |
| $\displaystyle a^v \cdot a^u \neq a^{vu}$ | $\displaystyle 4 \cdot 16=4^1\cdot 4^2=4^3 \neq 4^{1\cdot 2}=4^2$ | $\displaystyle \left(a^u \right)^v=a^{uv}=\left(a^v\right)^u$ | $\displaystyle (2^3)^2=8^2=64=2^6=2^{3\cdot 2}$
$\displaystyle (2^2)^3=4^3=64$ |
| $\displaystyle a^u \cdot b^u=\left(ab\right)^u$ | $\displaystyle 5^2\cdot 6^2=30^2$ | $\displaystyle \frac{a^v}{a^u}=a^{v-u}$ | $\displaystyle \frac{7^{3}}{7^4}=7^{3-4}=7^{-1}=\frac{1}{7}$ |
| $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^u=\frac{a^u}{b^u}$ | $\displaystyle \left(\frac{3}{5}\right)^{3} = \frac{3^3}{5^3}$ | $\sqrt[n]{a^n}=a$ | $\sqrt[5]{3^5}=3$ |
Para $a < 0$ devem referir-se alguns dos casos a ter em conta. Consideremos $u$ e $v$ números inteiros e $n$ número natural:
- $\displaystyle a^{-u}=\frac{1}{a^u}$;
- $\displaystyle a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ apenas está definida se $n$ for ímpar;
- $\displaystyle a^{\frac{v}{u}}=\sqrt[u]{a^v}$, está bem definida se $v$ for um número par ou se $u$ for ímpar. Se $v$ for ímpar e $u$ for par, $\displaystyle a^{\frac{v}{u}}=\sqrt[u]{a^v}$ não está definida.
- $\sqrt[n]{a^n}=\vert a\vert$, se $n$ é par e $\sqrt[n]{a^n}=a$, se $n$ é ímpar.
