Matemática Elementar

From Matemática
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(→‎Números e conjuntos)
(→‎Função exponencial e função logarítmica)
 
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=Introdução=
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Este é um kit de sobrevivência de Matemática no Ensino Superior.
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Há muitos assuntos que acha que domina mas às vezes falham e sem isto será muito difícil progredir em disciplinas como Cálculo, Análise, etc.
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Com esta página queremos ajudá-lo a ultrapassar essas dificuldades.
  
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No índice encontra uma lista dos tópicos abordados. Cada tópico contem um breve texto teórico de explicação e alguns exemplos e/ou exercícios, uns resolvidos, outros não.
  
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Este texto teve por base um guião de pré-cálculo elaborado pelos docentes da disciplina de Cálculo I da Universidade de Aveiro, no ano letivo 2005/06. Alguns dos exercícios resolvidos utilizaram software desenvolvido pelo projeto MegUA, assente sobre o Sage Math, software open source.
  
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Compilação de Maria Paula Oliveira (paula.oliveira@ua.pt)
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Professora Auxiliar do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro
  
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Colaboração: Dina Seabra, Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Águeda, Universidade de Aveiro e João Pedro Cruz, Departamento de Matemática, da Universidade de Aveiro
  
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=Números e conjuntos=
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* [[Conjuntos de números]]
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* [[Intervalos de números reais]]
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* [[Operações com conjuntos]]
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* [[Condições]]
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* [[Módulo de um número]]
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* [[Operações com frações]]
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* [[Potências]]
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* [[Casos notáveis da multiplicação]]
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* [[Proporcionalidade direta e percentagem]]
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** [[Percentagens]]
  
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=Equações=
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* [[Terminologia e generalidades]]
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* [[Equações do 1º grau]]
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* [[Equações do 2º grau]]
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* [[Equações com radicais]]
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* [[Equações com módulos]]
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* [[Resolução de outras equações]]
  
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== [[Extension:WikiEditor]] ==
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=Inequações=
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<syntaxhighlight lang="javascript">
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+
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pre: "<!-- ",
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peri: "Insert comment here",
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post: " -->"
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}
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}
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}
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});
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});
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* [[Inequações de 1º grau]]
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* [[Inequações do 2º grau]]
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* [[Inequações com módulos]]
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* [[Inequações com radicais]]
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* [[Outras inequações]]
  
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=Polinómios=
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* [[Terminologia]]
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* [[Divisão inteira de polinómios]]
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* [[Regra de Ruffini]]
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** [[Exercícios]]
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* [[Zeros de um polinómio e fatorização]]
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* [[Simplificação de expressões]]
  
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= Números e conjuntos =
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=Funções reais de variável real=
  
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== Conjuntos de números ==
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*[[Introdução]]
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*[[Generalidades sobre funções]]
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* [[Funções reais de variável real]]
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* [[Zeros e sinal de uma função]]
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* [[Operações aritméticas com funções]]
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* [[Restrição de uma função]]
 +
* [[Funções injetivas e funções sobrejetivas]]
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* [[Funções pares e funções ímpares]]
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* [[Funções monótonas]]
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* [[Máximos e mínimos]]
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* [[Funções limitadas]]
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* [[Função afim]]
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* [[Funções polinomiais]]
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* [[Funções racionais]]
 +
* [[Funções definidas por ramos]]
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* [[Função módulo]]
 +
* [[Translações de gráficos]]
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* [[Função composta]]
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* [[Função inversa]]
  
−
Um conjunto é uma colecção de objectos, designados '''elementos''', usualmente representado por uma letra maiúscula. Os conjuntos podem representar-se em extensão, $A=\{2, 4, 6, 8, 10\}$, ou em compreensão, $A=\{\mbox{números pares compreendidos entre 2 e 10} \}$. O uso de chavetas indica que se trata de um conjunto: $A$ é o conjunto dos números pares compreendidos entre 2 e 10. Quando queremos representar um conjunto com um número infinito de elementos usam-se $\ldots$. Por exemplo, $B=\{ \mbox{números ímpares}\}$ podemos representá-lo em extensão da seguinte forma $\{1,3,5,7,9, \ldots \}$.
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=Sucessões=
  
−
Um conjunto sem elementos designa-se por '''conjunto vazio''' e representa-se por $\{ \}$ ou $\emptyset$.
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* [[Conceito de sucessão]]
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* [[Sucessões definidas por recorrência]]
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* [[Sucessões monótonas]]
 +
* [[Sucessões limitadas]]
 +
* [[Progressões aritméticas e geométricas]]
 +
* [[Convergência de uma sucessão]]
 +
** [[Limites notáveis]]
 +
** [[Propriedades aritméticas dos limites]]
 +
** [[Teoremas sobre limites]]
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** [[Exemplos 18|Exemplos]]
 +
* [[Exercícios 7|Exercícios]]
  
−
Um conjunto $A$ diz-se que está contido num conjunto $B$ ou que é subconjunto de $B$ se cada elemento de $A$ é elemento de $B$. Por exemplo, se $A=\{\mbox{manga, ananás}\}$ e $B= \{\mbox{frutos tropicais}\}$, então $A$ é subconjunto de $B$ (ou $A$ está contido em $B$) e escreve-se $A\subseteq B$.
+
=Limites e continuidade=
  
−
Os conjuntos numéricos mais utilizados estão descritos na tabela seguinte:
+
* [[Definição de limite]]
−
\begin{center}
+
* [[Continuidade]]
−
\begin{tabular}{|c|c|c|}
+
* [[Propriedades dos limites]]
−
  \hline
+
* [[Propriedades das funções contínuas]]
−
  \textbf{Notação} & \textbf{Definição} & \textbf{Exemplos}\\ \hline
+
** [[Exemplos 6|Exemplos]]
−
  $\mathbb{N}$  & Números Naturais & $1;2;3;\dots$ \\ \hline
+
* [[Limites infinitos e limites no infinito]]
−
  $\mathbb{N}_0  =\mathbb{N}\cup\{0\}$ & \centering Números Naturais e o Zero & $0;1;2;3;\dots$ \\ \hline
+
* [[Propriedades dos limites infinitos]]
−
  $\mathbb{Z}=\mathbb{N}_0 \cup \{-n:n\in\mathbb{N}\}$  & \centering Números Inteiros  &  $\dots;-2;-1;0;1;2;\dots$ \\ \hline
+
** [[Exemplos 7|Exemplos]]
−
  $\mathbb{Q}= \left\{\frac{a}{b}:a,b\in\mathbb{Z}\land b\neq0 \right\}$  & \centering Números Racionais  & \begin{tabular}{|c|}
+
* [[Assíntotas]]
−
dízimas finitas \\  $-0,6;\DS\frac{1}{4}=0,25;34,8;3;\dots$ \\ \hline
+
** [[Exemplos 8|Exemplos]]
−
dízimas infinitas periódicas: \\
+
* [[Exercícios 6|Exercícios]]
−
  $\DS 0,1(6)=\frac{1}{6}; \DS 0,(8)=\frac{8}{9};\dots$ \\
+
−
\end{tabular}\\ \hline
+
−
  $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup \{x:x \mbox{ é número irracional }\}$  & \centering Números Reais  &    $ \pi=3.14159\dots$; \\
+
−
(irracional ou dízima infinita não periódica) &  &    $\sqrt{7}=2.645751\dots$ \\ \hline
+
−
% $\mathbb{C}$    & \centering Números Complexos\\  $\mathbb{C}= \{a+bi:a,b\in\mathbb{R}, i^2=-1\}$} &  $4-i;3i;5;\ldots$  \\ \hline
+
−
\end{tabular}
+
−
\end{center}
+
  
−
Entre estes conjuntos verificam-se as seguintes inclusões:
+
=Função exponencial e função logarítmica=
−
$$\mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$
+
==Função exponencial==
 +
* [[Conceito de exponencial]]
 +
* [[Função exponencial]]
 +
* [[Função exponencial de base a]]
 +
* [[Propriedades]]
 +
* [[Exemplos 4|Exemplos]]
  
−
==Intervalos de números reais==
+
==Função logarítmica==
−
Os intervalos de números reais são conjuntos muito importantes na matemática. O conjunto de números reais $x$ maiores do que $2$ e menores do que $5$, $2 < x < 5$ é o intervalo aberto $]2,5[=\{x \in \mathbb{R}: 2 < x < 5 \}$. Contudo, se considerarmos o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 2 e menores do que 5 teremos $[2,5[=\{x \in \mathbb{R}: 2 \le x < 5 \}$; e se tomarmos o conjunto dos números reais maiores do que 2 e menores ou iguais a 5 teremos o intervalo $]2,5]=\{x \in \mathbb{R}: 2 < x \le 5 \}$. O intervalo fechado $[2,5]=\{x \in \mathbb{R}: 2 \le x \le 5 \}$ corresponde ao conjunto dos números reais maiores ou iguais a 2 e menores ou iguais a 5.
+
* [[Logaritmos]]
 +
* [[Propriedades dos logaritmos]]
 +
* [[Função logarítmica]]
 +
* [[Exemplos 5|Exemplos]]
  
 +
==[[Exercícios 5|Exercícios]]==
  
 +
=Funções trigonométricas=
  
−
[[File:Intervaloaberto.jpg]]
+
* [[Círculo trigonométrico]]
 +
* [[Funções trigonométricas]]
 +
* [[A função seno]]
 +
* [[A função cosseno]]
 +
* [[A função tangente]]
 +
* [[Identidades trigonométricas]]
  
−
O subconjunto dos números reais que consiste em todos os números reais $x$ que estão entre $a$  e $b$  pode ser representado pela dupla desigualdade $a < x < b$  e, em termos de conjunto, pelo intervalo
+
=Derivadas=
−
$]a,b[ = \{ x \in \mathbb{R} : a < x < b \}$ ,
+
−
designado por intervalo aberto.
+
  
−
Caso as extremidades $a$  e $b$  estejam incluídas representa-se o intervalo por  $[a,b]= \{ x \in \mathbb{R} : a \le x \le b \}$ e designa-se por intervalo fechado.
+
* [[Derivada de uma função num ponto. Função derivada]]
 +
* [[Interpretação geométrica da derivada]]
 +
* [[Regras de derivação]]
 +
* [[Derivada da função composta]]
 +
* [[Derivada da função inversa]]
 +
* [[Derivadas de ordem superior à primeira]]
 +
* [[Aplicação das derivadas ao estudo de funções]]
 +
** [[Monotonia]]
 +
** [[Convexidade, concavidade e pontos de inflexão]]
  
−
[[File:intervalofechado.jpg]]
 
  
−
Os intervalos contendo apenas uma das extremidades, $]a,b]$ ou $[a,b[$  designam-se por intervalos semi-abertos:
 
  
−
$]a,b]= \{ x \in \mathbb{R} : a < x \le b \} \qquad [a,b[ = \{ x \in \mathbb{R} : a \le x < b \}$
+
[http://moodle.ua.pt/mod/quiz/view.php?id=259200]
  
−
[[File:Sem título.jpg]] [[File:Intervalosemiaberto2.jpg]]
+
[http://moodle.ua.pt/mod/quiz/view.php?id=258321]
  
−
Podemos ainda usar os intervalos $[a,+ \infty [$  e $]-\infty, b]$  para representar em termos de conjuntos as desigualdades
+
= Getting started =
  
−
$[a,+ \infty [=\{ x \in \mathbb{R}: x \ge a \} \qquad ]-\infty, b]=\{ x \in \mathbb{R}: x \le b \}$
+
[http://www.example.com link title]
  
−
[[File:intervaloilimitado.jpg]]
+
* [//www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Configuration settings list]
 +
* [//www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki FAQ]
 +
* [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce MediaWiki release mailing list]
  
−
Os intervalos de números reais podem ser usados para representar os números negativos ou os números positivos
 
  
−
$\mathbb{R}^+=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}=]0,+\infty[ \qquad \mathbb{R}_0^+=\mathbb{R}^+\cup\{0\}=[0,+\infty[ \qquad \mathbb{R}^-=\{x\in\mathbb{R}:x<0\}=]-\infty,0[ \qquad\mathbb{R}_0^-=\mathbb{R}^-\cup\{0\}=]-\infty,0]$
 
−
 
−
 
−
==Operações com conjuntos==
 
−
 
−
No que se segue apresentam-se algumas operações entre  conjuntos. Assim, sejam $A$ e $B$ dois conjuntos do universo $U$.
 
−
O conjunto que contém os elementos comuns aos dois conjuntos $A$ e $B$ é conhecido como '''intersecção''' dos dois conjuntos, $A \cap B = \{x \in U : x \in A \mbox{ e } x \in B \}$:
 
−
 
−
[[File:Intersecao.png]]
 
−
 
−
Se a intersecção de dois conjuntos é o vazio, significa que os conjuntos não possuem elementos em comum e, neste caso os conjuntos dizem-se \textbf{disjuntos}.
 
−
 
−
A '''reunião''' (ou união) de dois conjuntos $A$ e $B$ é o conjunto que contém todos os elementos dos dois conjuntos,
 
−
$A \cup B = \{x \in U : x \in A \mbox{ ou } x \in B \}$ .
 
−
 
−
[[File:reuniao.png]]
 
−
 
−
Designa-se por $A-B$ ou $A \backslash B$  o conjunto que contém todos os elementos de $A$, excepto os que pertencem a $B$, $A \backslash B = \{ x \in U : x \in A \mbox{ e } x \notin B \}$.
 
−
 
−
[[File:a_B.png]]
 
−
 
−
 
−
 
−
Todos os elementos do conjunto universo que não pertencem ao conjunto $A$ formam um conjunto chamado complementar de $A$, o qual se representa por  $A^{\emph{C}}$ ou $\overline{A}$, $\overline{A} = \{ x \in U : x \notin A \}$.
 
−
 
−
[[File:complementar.png]]
 
−
 
−
<nowiki>Insert non-formatted text here</nowiki>
 
−
 
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−
'''MediaWiki has been successfully installed.'''
 
  
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''MediaWiki has been successfully installed.'''
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Consult the [//meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents User's Guide] for information on using the wiki software.
 
Consult the [//meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents User's Guide] for information on using the wiki software.
−
 
−
== Getting started ==
 
−
* [//www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Configuration settings list]
 
−
* [//www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki FAQ]
 
−
* [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce MediaWiki release mailing list]
 

Latest revision as of 17:00, 14 February 2013

Contents

[edit] Introdução

Este é um kit de sobrevivência de Matemática no Ensino Superior. Há muitos assuntos que acha que domina mas às vezes falham e sem isto será muito difícil progredir em disciplinas como Cálculo, Análise, etc. Com esta página queremos ajudá-lo a ultrapassar essas dificuldades.

No índice encontra uma lista dos tópicos abordados. Cada tópico contem um breve texto teórico de explicação e alguns exemplos e/ou exercícios, uns resolvidos, outros não.

Este texto teve por base um guião de pré-cálculo elaborado pelos docentes da disciplina de Cálculo I da Universidade de Aveiro, no ano letivo 2005/06. Alguns dos exercícios resolvidos utilizaram software desenvolvido pelo projeto MegUA, assente sobre o Sage Math, software open source.

Compilação de Maria Paula Oliveira (paula.oliveira@ua.pt) Professora Auxiliar do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro

Colaboração: Dina Seabra, Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Águeda, Universidade de Aveiro e João Pedro Cruz, Departamento de Matemática, da Universidade de Aveiro

[edit] Números e conjuntos

[edit] Equações

[edit] Inequações

[edit] Polinómios

[edit] Funções reais de variável real

[edit] Sucessões

[edit] Limites e continuidade

[edit] Função exponencial e função logarítmica

[edit] Função exponencial

[edit] Função logarítmica

[edit] Exercícios

[edit] Funções trigonométricas

[edit] Derivadas


[1]

[2]

[edit] Getting started

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−

− Consult the User's Guide for information on using the wiki software.

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